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答え：
相加平均・相乗平均の関係から，
l/m+m/n+n/l≧3*(l/m*m/n*n/l)^(1/3)=3である．よって，3≦l/m+m/n+n/l<9-nとなる．
また，l＜m＜nより，n≧3であり，さらに，9-n＞3より，n＜6である．
したがって，n=3,4,5の場合に分けて条件を満たすものを調べればよい．

(1)
n=3のとき，l=1,m=2の組み合わせしか存在しない．このとき，
1/2+2/3+3 = 25/6<6より条件を満たす．


(2)
n=4のとき，9-n=5である．lの値で場合分けをすると，次のようになる．

(i)l=1のとき，mの取り得る値は2と3である．
m=2のとき，1/2+2/4+4/1=1+4=5であり，条件を満たさない．
m=3のとき，1/3+3/4+4/1=13/12+4=61/12>5より条件を満たさない．
(ii)l=2のときは，m=3のみである．
m=3のとき，2/3+3/4+4/2=41/12より，条件をみたす．


(3)n=5のとき，9-n=4である．lの値で場合分けをすると，次のようになる．
(i)l=1のとき，n/l=5より，任意のmに対して条件を満たすことはない．
(ii)l=2のとき，m=3,4である．
m=3のとき，2/3+3/5+5/2= (113)/30<4より，条件を満たす．
m=4のとき，2/4+4/5+5/2<4より，条件を満たす．
(iii)l=3のとき，m=4のみである．このときは，3/4+4/5+5/3<4より条件を満たす．

(1)〜(3)より，求める値の組み合わせは，(l,m,n)=(1,2,3),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)